Principaux théorèmes et propriétés
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Propriétés et théorèmes des fonctions
Principales propriétés
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Commutativité
Commutativité
: Le positionnement de telle ou telle entrée (e1 ou e2) n'est d'aucun effet.Associativité
Associativité
: S'il existe des portes logiques à 3, 4 voire 6 entrées, les modèles à 2 entrées sont les plus communs. Il est possible de regrouper les entrées 2 par 2, puis les résultats intermédiaires à la ferme condition que les signes soient identiquesUniquement des + (OU) ou uniquement des . (ET).Distributivité
Distributivité
: À l'instar de la mise en facteur mathématiqueNotez que là aussi les parenthèses sont optionnelles puisque le . est prioritaire sur le +, il est possible de simplifier certaines équations.Schéma électrique distributivité
Schéma électrique distributivité
: Il apparaît encore plus clairement que la simplification est possible !Involution
Involution
: Une double inversion annule l'inversion ! e1// = e1 !
Principaux théorèmes
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e + 0 = e
Effectuer un OU avec 0 est sans effet : S = e !
e . 0 = 0
Réaliser un ET avec 0 donne toujours 0 !
e + 1 = 1
Effectuer un OU avec 1 donne toujours 1 !
e . 1 = e
Réaliser un ET avec 1 est sans effet : S = e !
e + e = e
Effectuer un OU d'une même entrée est sans effet : S = e !
e . e = e
Réaliser un ET d'une même entrée est sans effet : S = e !
e + e/ = 1
Un OU entre une entrée et son complément (e/) donne toujours 1 !
e . e/ = 0
Un ET entre une entrée et son complément donne toujours 0 !
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Universalité des portes NOR et NAND
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NON avec NOR méthode 1 :
NON avec NOR méthode 2 :
NON avec NAND méthode 1 :
NON avec NAND méthode 2 :
OU avec des NOR :
ET avec des NAND :
OU avec des NAND :
ET avec des NOR :
CD 4011 pour 4 NAND (NON ET) à 2 entrées... peut s'avérer intéressant !
Simplifier avec le tableau de Karnaugh
Après la table de vérité, le tableau de Karnaugh donne l'équation la plus simple, sans calcul : on regroupe les 1 voisins.Exemple à 3 entrées a, b, c : la table de vérité donne S = 1 pour abc = 000, 100, 101 et 111. Écrite telle quelle :
S = a/.b/.c/ + a.b/.c/ + a.b/.c + a.b.c
(4 termes de 3 entrées : 4 portes ET à 3 entrées et un OU à 4 entrées)
| a ╲ bc | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
- Les colonnes suivent le code Gray00, 01, 11, 10 : d'un nombre au suivant, un seul chiffre change (voir le cours Hexadécimal Gray BCD). : d'une case à sa voisine, une seule entrée change. Les bords se touchent : la 1re et la dernière colonne sont voisines.
- On entoure les 1 par paquets de 1, 2, 4 ou 8 cases, en rectangle, les plus gros possible.
- Dans un paquet, l'entrée qui change disparaît ; celles qui restent fixes forment le terme.
- Chaque 1 est pris au moins une fois (un même 1 peut servir à deux paquets).
Paquet jaune : b change, a = 1 et c = 1 restent : a.c
S = b/.c/ + a.c
2 termes de 2 entrées au lieu de 4 termes de 3 : même table de vérité, câblage bien plus simple !
2 termes de 2 entrées au lieu de 4 termes de 3 : même table de vérité, câblage bien plus simple !
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Cours extrait du parcours :
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